Happy Birthday to Maren S.
Alle, die Spaß an visueller Poesie und / oder am Programmieren haben, sind eingeladen, "Geburtstagsgrüße" für Maren S. zu
schreiben. Für die "Geburtstagsgrüße" gelten folgende Regeln:
1) Die Texte sind lauffähige ColCül-Programme, die die 23. Fibonaccizahl berechnen (Vorschläge s.u.) und ausgeben.
2) Namen für Variablen, Funktionen usw. werden nicht als Klartext (z.B. zahl1) sondern kryptisch (z.B. aaa) ausgewählt. Das gleiche
gilt für Zahlen (also z.B. ooo statt 3)
3) Als einzige Ausnahme darf das Wort "to" bzw. die beiden Wörter "to" und "you" verwendet werden.
4) Der Quelltext wird rechtsbündig angeordnet. Die Schriftart ist Courier.
5) Entscheidend für die Gestaltung des Quelltextes ist nicht seine Lesbarkeit sondern seine visuelle bzw.
ästhetische Qualität. Dazu können z.B. ColCül-Befehle zerschnitten oder Leerzeichen bzw. Kommentare verwendet werden.
Senden Sie fertige Texte an (arens@muart.de).
Formeln und Methoden zur Berechnung der 23. Fibonaccizahl
Die Folge der Fibonaccizahlen ist durch folgende Rekursionsvorschrift definiert: F(1) = 1,
F(2) = 1 und F(n) = F(n-2) + F(n-1). Mit Hilfe dieser Rekursion läßt sich F(23) ...
1) ... mit einer Zählschleife oder ...
2) ... einer rekursiven Funktion berechnen.
Weitere Formeln sind:
3) F(23) = F(11)2 + F(12)2
4) F(23) = F(8)3 + 3F(8)2F(7) + F(7)3
5) F(23) = F(2) + F(4) + F(6) + ... + F(22) + 1, wobei für die Fibonaccizahlen mit geradem Index gilt: F(2n) = 3F(2n-2) - F(2n-4).
Berechnungen mit Hilfe der Binomialkoeffizienten
Die Binomialkoeffizienten sind folgendermaßen definiert: P(n,k) = n! / ((n - k)! k!), wobei das Ausrufungszeichen
für Fakultät steht. Dabei ist k>=0, und n>=k. Außerdem gilt folgende Rekursionsvorschrift: P(n,0) = 1,
P(n,n) = 1 und P(n,k) = P(n-1,k-1) + P(n-1,k), ebenfalls mit n>=k und k>=0. Dann ist:
F(23) = P(22,0) + P(21,1) + P(20,2) + ... + P(11,11). Dabei kann das Programm zur Berechnung der 23 Fibonaccizahl ...
6) ... die direkte Definition der Binomialkoeffizienten oder ...
7) ... die rekursive Definition oder ...
8) ... die Elemente des Pascalschen Dreiecks nutzen.
Weitere Formeln sind:
9) F(23) = (50P(23,1) + 51P(23,3) + 52P(23,5) + ... + 511P(23,23)) / 222
10) F(23) = F(1)P(11,0) + F(2)P(11,1) + F(3)P(11,2) + ... + F(12)P(11,11)
Berechnungen mit Hilfe des goldenen Schnitts
Der goldene Schnitt φ ist (√5 + 1) / 2. Außerdem ist φ = 2 cos36°.
11) Wenn ψ = 1 - φ, dann ist F(23) = (φ23 - ψ23) / (φ - ψ) bzw.
F(23) = (φ23 - ψ23) / √5.
12) Außerdem ist F(23) der (auf-)gerundete Wert von φ23 / √5 bzw. φ24 / (2 + φ).
Berechnungen mit Hilfe der Lucaszahlen
Die rekursive Definition der Lucaszahlen entspricht der entsprechenden Definition der Fibonaccizahlen, nur dass L(2) nicht
1 sondern 3 ist.
13) F(23) = (L(20) + L(21) + L(22) + L(23)) / 5
14) Da L(n) ≈ φn, lassen sich die beiden Formeln aus 12) entsprechend modifizieren.
Berechnungen mit Hilfe einer Matrix
15) Wenn die 2 x 2 - Matrix A die beiden Zeilen "1 1" und "1 0" enthält, dann ist F(23) die erste Zahl in der Matrix A22.
16) A22 läßt sich, statt mit einer Zählschleife, auch mit binärer Exponentiation berechnen:
A22 = (((A2)2A)2A)2.