Puzzleteile im Somawürfel und Somap

How to translate

1) Die Lage einzelner Puzzleteile im Somawürfel

Am Anfang möchte ich eine Übersicht über die 7 Soma-Puzzleteile und ihre üblichen Bezeichnungen geben. Die ersten vier Teile sind nach ihrer Form benannt, das letzte Teil nach dem Wort "Pyramide". Die Teile A und B sind zueinander spiegelsymmetrisch.
Die räumlichen Abbildungen am Ende dieser Seite sind in der Beschreibungssprache "X3D" realisiert und können somit bei gedrückter Maustaste bewegt und untersucht werden:

V	L	T	Z	A	B	P

Zunächst soll die Frage geklärt werden, welche der 7 Puzzleteile nach dem Zusammenbau des 3x3x3-Somawürfels eine der 8 Ecken des Würfels bilden. Dazu eine Übersicht, wieviele Ecken jedes dieser Teile überhaupt bilden kann:

	maximal	aber auch
V	1	0
L	2	1 oder 0
T	2	0
Z	1	0
A	1	0
B	1	0
P	1	0
Summe	9

Die 7 Puzzleteile könnten also maximal 9 Ecken bilden. Der Somawürfel hat aber nur 8 Ecken. Also muss eines der 7 Teile genau eine ihrer maximal möglichen Ecken "abgeben". Dieses Puzzleteil wird als defizient bezeichnet. Das kann aber nicht das T-Teil sein, das nicht genau eine Ecken abgeben kann, da es nur 2 oder keine Ecke bilden kann. Daraus folgt:

Regel 1: Das T-Teil bildet stets eine der 12 Kanten des Somawürfels.

Da auch das L-Teil nur maximal eine Ecke abgeben darf, muss es mindestens eine oder 2 Ecken bilden:

Regel 2: Das L-Teil liegt auf einer der 6 Außenflächen des Somawürfels.

Aus Regel 1 und 2 folgt, dass weder das T-Teil, noch das L-Teil durch das Zentrum des Somawürfels gehen können. Puzzleteile, die durch das Zentrum des Somawürfels gehen, werden als zentral bezeichnet. Das T- und das L-Teil sind also nie zentral.

Wenn das Z-Teil eine Ecke bildet, dann muss es auf einer der 6 Außenflächen des Somawürfels liegen:

Regel 3: Das Z-Teil ist entweder defizient und zentral oder weder defizient noch zentral.

Nun wollen wir uns das V-Teil und das P-Teil genauer anschauen. Dazu stellen wir uns vor, dass die 27 Einzelwürfel des Somawürfels abwechselnd schwarz und weiß eingefärbt sind, wobei die 8 Ecken und die 6 Würfel in der Mitte der 6 Außenflächen schwarz und die 12 Würfel in der Mitte der 12 Kanten so wie der Würfel im Zentrum weiß sind. Somit haben wir 14 schwarze und 13 weiße Teilwürfel. Die Puzzleteile L, Z, A und B müssen jeweils stets aus 2 schwarzen und 2 weißen Teilwürfeln bestehen. Da das T-Teil immer eine Kante bildet (s.o.), muss es somit aus 3 schwarzen und 1 weißen Teilwürfel zusammengesetzt sein:  schwarz   weiß   L   2   2   T   3   1   Z   2   2   A   2   2   B   2   2   Summe   11   9                 schwarz   weiß   V   ?   ?   L   2   2   T   3   1   Z   2   2   A   2   2   B   2   2   P   ?   ?   Summe   14   13

Ein Somawürfel aus Lego

Es fehlen also von den beiden Teilen V und P noch insgesamt 3 schwarze und 4 weiße Würfel. Das V-Teil kann aus 2 schwarzen und einem weißen Würfel oder umgekehrt bestehen. Das P-Teil kann aus 3 schwarzen und einem weißen Würfel oder umgekehrt bestehen. Das ergibt 4 Kombinationsmöglichkeiten:

1. Fall:		2. Fall:		3. Fall:		4. Fall:
schwarz   weiß   V   2   1   P   3   1   Summe   5   2		schwarz   weiß   V   1   2   P   3   1   Summe   4   3		schwarz   weiß   V   2   1   P   1   3   Summe   3   4		schwarz   weiß   V   1   2   P   1   3   Summe   2   5

Nur im 3. Fall ergeben die Teile V und P zusammen 3 schwarze und 4 weiße Teilwürfel. Das heißt, der Teilwürfel in der Ecke des V-Teils ist stets weiß, der Teilwürfel in der Ecke des P-Teils ist stets schwarz. Daraus folgt: Regel 4: Die Ecke des V-Teils liegt entweder auf der Mitte einer Kante des Somawürfels oder im Zentrum des Würfels. Regel 5: Die Ecke des P-Teils liegt entweder in der Ecke des Somawürfels oder in der Mitte einer der 6 Außenflächen.

Die 7 Puzzleteile

Quelle: https://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/NEWS/N990201.HTM



2) Die Somap lesen

John Horton Conway und Mike J.T. Guy bewiesen 1961 (an einem regnerischen Nachmittag) ohne Computer, dass der Somawürfel sich auf 240 verschiedene Arten zusammensetzen läßt. Schon ein Jahr vorher hatte Richard K. Guy, der Vater von Mike Guy, 234 Lösungen gefunden. Dabei gelten Drehungen des Würfels um eine Achse als gleiche Lösung. Wenn man Spiegelungen des Würfels an einer Ebene ( wobei die Teile A und B ineinander gespiegelt werden) als verschiedene Lösungen ansieht, so gibt es insgesammt 480 Lösungen. Die 240 Lösungen wurden später auf einer Art Karte, der sogenannten "Somap", festgehalten, auf der gezeigt wurde, welche Lösungen durch Veränderung der Lage von 2 oder 3 Puzzleteilen ineinander überführt werden können. Die Somap kann hier als 850x638-Graphik (*.png) heruntergeladen werden, ist aber auch auf der Soma-Seite von Thorleif Bundgaard abgegildet. Links oben beginnt die Somap mit: YU 0c   gu   YU 0b Die beiden Blöcke aus 4 Zeichen links und rechts beschreiben je eine der 240 Lösungen des Soma-Puzzles. Die Kleinbuchstaben unter dem Verbindungsstrich bezeichnen die Puzzleteile, die in ihrer Lage verändert werden, um von einer Lösung zur anderen zu gelangen. Ist der Verbindungsstrich wie hier durchgezogen, werden 2 Puzzleteile in ihrer Lage verändert. Bei 3 Puzzleteilen ist der Verbindungsstrich gestrichelt.

John Conway (zusammen mit meiner Tochter Rahel) 2015 in Princeton

Nun zu den einzelnen Blöcken, die eine der 240 Lösungen beschreibt: Die beiden Großbuchstaben Y und U bezeichnen Puzzleteile des Somawürfels, allerdings nicht mit den sonst üblichen Buchstaben V, L, T, Z, A, B und P, sondern mit:

Brown	Yellow	Green	Orange	blUe	Red	blAck

Um die Somap lesen zu können, werde ich ab jetzt die Bezeichnungen benutzen, die Conway und Guy für ihre Puzzleteile verwendet haben, hinter den Buchstaben aber zur besseren Orientierung die bisherigen und sonst üblichen Bezeichnungen jeweils in Klammern setzen.

Der erste Großbuchstabe in den beiden Blöcken oben bezeichnet dasjenige Puzzleteil, das defizient ist, also eine Ecke weniger als maximal möglich bildet (s.o.), in diesem Fall das Y(L)-Teil. Das große G(T) kann also nie erster Buchstabe in einem Block sein (s.o.).

Der zweite Großbuchstabe bezeichnet das Puzzleteil, das zentral ist, also durch das Zentrum des Somawürfels geht, in diesem Fall das U(A)-Teil. Das große G(T) und das große Y(L) können also nie zweiter Buchstabe in einem Block sein (s.o.). Wenn die beiden Großbuchstaben für die Puzzleteile gleich sind, wird nur ein Buchstabe für dieses Puzzleteil geschrieben, das somit sowohl defizient als auch zentral ist.

Die Zahl unten links in den beiden Blöcken gibt den Wert (Dexterity Value) an, in diesem Fall eine 0. Der Wert, der zunächst auf 0 gesetzt ist, wird folgendermaßen berechnet: Zunächst wird geschaut, ob das braune B(V)-Teil) komplett mit seinen 3 Teilwürfeln auf einer der 6 Außenflächen liegt. Ist das der Fall, kann es nur so auf der Außenfläche liegen, dass einer der beiden Schenkel des Buchstaben v, der vom B(V)-Teil) gebildet wird, auf der Außenfläche so verlängert werden kann, dass ein großes L oder ein spiegelverkehrtes großes L entsteht. Ist dieses große L nicht spiegelverkehrt, dann wird der Wert um 1 vergrößert bzw. auf 1 gesetzt.

Als nächstes wird nach dem gelben Y(L)-Teil gsucht, das immer auf der Außenfläche des Somawürfels liegt (s.o.). Ist dieses große L, das vom Y(L)-Teil gebildet wird, nicht spiegelverkehrt, dann wird der Wert um 2 vergrößert.

Als letztes wird geschaut, ob das orangene O(Z)-Teil komplett mit seinen 4 Teilwürfeln auf einer der 6 Außenflächen des Somawürfels liegt. Ist das der Fall, kann dieses Teil ein großes Z oder auch spiegelverkehrt ein großes S bilden. Bildet es ein großes Z, dann wird der Wert abschließend um 4 vergrößert.

Da die Zahlen 1, 2, und 4, die zum ursprünglichen Wert = 0 addiert werden, 2er-Potenzen sind, kann aus dem Endwert genau herausgelesen werden, welche der Teile B(V), Y(L) und O(Z) auf der Außenfäche des Somawürfels spiegelverkehrt oder nicht spiegelverkehrt liegen. Schreibt man den Wert als Dualzahl, so steht 0 für spiegelverkehrt und 1 für nicht spiegelverkehrt:

Wert	O(Z)	Y(L)	B(V)
0	0	0	0
1	0	0	1
2	0	1	0
3	0	1	1
4	1	0	0
5	1	0	1
6	1	1	0
7	1	1	1

Als letztes steht im Block ein Kleinbuchstabe, im obigen Beispiel ein c bzw. ein b. Dieser Kleinbuchstabe steht nicht für ein Puzzleteil, sondern gibt an, um welche Lösung (Solution) bzw. genauer um welche Variante der Lösung es sich handelt, da es z.B. mehrere Lösungen gibt, bei denen das Y(L)-Teil defizient, das U(A)-Teil zentral und die Teile B(V), Y(L) und O(Z) jeweils spiegelverkehrt liegen.

Im obigen Beispiel wird die Lage der beiden Teile G(T) und U(A) (als Kleinbuchstaben geschrieben) verändert. Das defiziente Y(L)-Teil wird also nicht angerührt, ebenso wenig die Teile B(V) und O(Z), so dass sich auch der Wert nicht ändert. Die Lage des U(A)-Teils ändert sich zwar, es beibt aber zentral (Sie können die folgenden Körper bei gedrückter Maustaste untersuchen):

YU 0c  =

=

+

↔

+

=

=

YU 0b

Hier noch ein 2. Beispiel aus der Somap, nämlich

A 6c

_ _ _ abu

U 7a

Im 3. Beispiel ist in der Somap die gestrichelte Verbindungslinie bezeichnenderweise nicht beschriftet:

U 4g

_ _ _

U 7a

Das letzte Beispiel beschäftigt sich mit einer Lösung, die nicht zu einer anderen Lösung führt, indem 2 oder 3 Puzzleteil ihre Lage verändern und die ohne Verbindungslinie zu anderen Lösungen umrahmt von einem Karo (Diamant) auf der Somap zu finden ist:

R 7d

Quellen:
https://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/NEWS/N990118SOMA_Addict(201708)_Original_SOMA_Addict_100_OCR.pdf
https://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/NEWS/N170711.HTM
https://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/NEWS/N181006%20Secrets%20of%20the%20SOMAP.pdf


Manfred Arens
arens@muart.de

← Zurück zur Startseite

Weiter zur Fortsetzung →