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| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| Somap3: | White | Yellow | Green | Orange | bLue | Red | Black |
| Somap: | Brown | Yellow | Green | Orange | blUe | Red | blAck |
| nach Form: | V | T | L | Z | A | B | P |
Es gibt jedoch noch ein größeres Problem als die unterschiedliche Bezeichnung der Puzzleteile: In der Somap3 heißt die erste Lösung O3a bzw. OO3a (Donald Knuth schreibt das Puzzleteil, das sowohl defizient als auch zentral ist, 2 mal). Nun kommt in der ursprünglichen Somap eine Lösung O3a aber gar nicht vor. Doch, denn die Lösung O3a ist die gespiegelte Version der Lösung O0a, die oben in der Mitte der Somap zu finden ist. Über Spiegelungen des Somawürfels (an einer Ebene) und ihre Auswirkung auf die Bezeichnung der Lösung später mehr...
2) Viele gleiche Lösungen und eine kanonische
Wieviele Versionen ein und der selben Lösung gibt es überhaupt? Das T-Teil, das immer eine Kante bildet (s. somap.htm), kann an allen 12 Kanten liegen. Dabei kann der hervorstehende Teilwürfel des T-Teils den Mittelpunkt von einer der 2 Nachbarflächen dieser Kante bilden. Für die Lage des P-Teils gibt es nun ebenfalls 2 Möglichkeiten. Es kann nämlich in den oberen beiden Schichten des Würfels liegen oder in den unteren beiden. Somit gibt es 12·2·2 = 48 Versionen ein und der selben Lösung. (mehr über Drehungen des Würfels bei Wikipedia).
Wenn das T-Teil in Folge von Drehungen immer hochkannt die hintere linke Kante bildet und der hervorstehende Teilwürfel dabei auf der hinteren Fläche liegt und das P-Teil eventuell durch Spiegelung an der waagerechten xz-Ebene durch den Mittelpunkt des Würfels in die unteren beiden Schichten des Würfels gespiegelt wird (ohne dass das T-Teil dadurch seine Lage verändert), so wird diese Lösung als kanonisch bezeichnet. Es gibt von allen 48 Versionen einer Lösung immer genau eine kanonische. Alle Lösungen in der Somap3 sind kanonisch, auch die weiter unten abgebildete Lösung B4c. Das folgende Beispiel aus der Somap3 verwendet die oben aufgelisteten Farben und kann mit gedrückter Maustaste gedreht und untersucht werden:
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Nur das T-Teil und das P-Teil: |
3) Zu viele mögliche Lösungen
Vergessen wir für einen kurzen Augenblick die 5 Regeln der vorherigen Seite zur Lage der einzelnen Puzzles. Wie die Puzzleteile überhaupt liegen können, wird auf der Seite von Amine Ben Hariz sehr anschaulich dargestellt. Für die 7 Puzzleteile gibt es also (durch Drehung und Spiegelung) jeweils folgende Anzahl ihrer möglichen Lage:
L-Teil: 24
T-Teil: 12
Z-Teil: 12
A-Teil: 12
B-Teil: 12
V-Teil: 12
P-Teil: 8
Ein Teil, das einen 3x2x1-Raum einnimmt (die Teil L, T, und Z), kann bei gleicher Lage an 3·2 = 6 Positionen in einem 3x3x3-Würfel liegen. Ein Teil, das einen 2x2x2-Raum einnimmt (die Teil A, B, und P), kann an 2·2·2 = 8 Positionen liegen und das V-Teil, das einen 2x2x1-Raum einnimmt, an 2·2·3 = 12 Positionen:
L-Teil: 24 x 6 = 144
T-Teil: 12 x 6 = 72
Z-Teil: 12 x 6 = 72
A-Teil: 12 x 8 = 96
B-Teil: 12 x 8 = 96
V-Teil: 12 x 12 = 144
P-Teil: 8 x 8 = 64
Das ergibt 1442·722·962·64 ≈ 63.400.000.000.000 Kombinationen, genug, um einen Computer bei der Überprüfung all dieser Kombinationen auf eine gültige Lösung in die Knie zu zwingen (zumindest meinen Browser mit einem JavaScript-Programm). Daher die 5 Regeln.
4) 11 Arten verschiedener Lösungen
Zunächst sollen die 5 Regeln auf der Seite somap.htm etwas klarer und übersichtlicher formuliert bzw. formalisiert werden, auch, um sie für einen Computer lesbar zu machen. Dazu wird jeder Regel bzw. dem entsprechenden Puzzleteil ein Block (oder mehrere Blöcke) aus 4 Ziffern zugeordnet. Die 1. Ziffer steht für die Anzahl der Würfelecken, die dieses Puzzleteil belegt, die 2. Ziffer für die Anzahl der mittleren Teilwürfel einer Kante, die 3. Ziffer für die Anzahl der mittleren Teilwürfel einer Fläche und die 4. Ziffer besagt, ob das Puzzleteil durch das Zentrum des Würfels geht (1) oder nicht(0). Dabei werde ich allmählich wieder zur Bezeichnung der Puzzleteile aus der Somap übergehen:
G- bzw. T-Teil (1. Regel) : 2110
Y- bzw. L-Teil (2. Regel) : 2200 oder 1210
O- bzw. Z-Teil (3. Regel) : 1210 oder 0121
A- bzw. P-Teil (5. Regel) : 1300 oder 0211
B- bzw. V-Teil (4. Regel) : 1110 oder 0120 oder 0021
U- bzw. A-Teil: 1210 oder 1111 oder 0220 oder 0121
R- bzw. B-Teil: 1210 oder 1111 oder 0220 oder 0121
Nun lassen sich die 1+2+2+2+3+4+4 = 18 Positionen der 7 Puzzleteile auf 1·2·2·2·3·4·4 = 384 Arten kombinieren. Von Interesse sind aber nur die Kombinationen der Viererblöcke, bei denen die Summe der 1. Ziffern (Ecken) 8 ergibt, die Summe der 2. Ziffern (Kanten) 12, die Summe der 3. Ziffern (Flächen) 6 und die Summe der 4. Ziffern (Zentrum) 1. Das ergibt (laut Computer) 11 Kombinationen für mögliche Lösungen des Somapuzzles. Ich habe zunächst in den einzelnen Fällen die Puzzleteile fett markiert, die defizient und/oder zentral sind. Daraus ergeben sich die Namen in der Somap. Außerdem habe ich die 11 Fälle mit allen Lösungen aus der ursprünglichen Somap und aus der Somap3 verglichen:
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Puzzleteile |
Lösung |
Somap |
Somap3 |
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1.Fall: 2.Fall: 3.Fall: 4.Fall: 5.Fall: 6.Fall: 7.Fall: 8.Fall: 9.Fall: 10.Fall: 11.Fall: |
G Y O A B U R
2110 2200 0121 1300 1110 1210 1210 2110 2200 1210 1300 0021 1210 1210 2110 2200 1210 0211 1110 1210 1210 2110 2200 1210 1300 0120 1210 1111 2110 2200 1210 1300 0120 1111 1210 2110 2200 1210 1300 1110 1210 0121 2110 2200 1210 1300 1110 0121 1210 2110 2200 1210 1300 1110 1111 0220 2110 2200 1210 1300 1110 0220 1111 2110 1210 1210 1300 1110 1210 1111 2110 1210 1210 1300 1110 1111 1210 |
O B A BR BU R U RU UR YR YU |
33 20 37 6 8 13 38 64 1 1 20 |
33 19 37 8 6 25 26 22 43 12 9 |
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| ––– | ––– | ||||||
| 241 | 240 | ||||||
Zunächst fällt auf, dass die ursprüngliche Somap eine Lösung zuviel enthält, und das scheint offensichtlich eine B-Lösung zu sein. Doch ein Blick auf die Somap zeigt, dass im rechten unteren Viertel das Wort "reflect", also gespiegelt, an der Verbindung zwischen den Lösungen B4f und B2f steht. Die beiden Lösungen B4f und B2f sind also als identisch markiert, da sie Spiegelungen voneinander sind. Verwirrender ist schon eher, dass auch viele andere Zahlen nicht übereinstimmen. Doch die beiden vertauschten Zahlen 6 und 8 bei den BR- und BU-Lösungen führen auf die richtige Spur. Denn die R- und U-Teile sind zueinander spiegelsymmetrisch und gehen beim Spiegeln des Würfels an einer Ebene ineinander über. Das gilt auch für die anderen Lösungen mit R und U und dann sind die Zahlen in beiden Somaps gleich:
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4. und 5. Fall: 6. und 7. Fall: 8. und 9. Fall: 10. und 11. Fall: |
BR + BU = 6 + 8 = 8 + 6 = 14 R + U = 13 + 38 = 25 + 26 = 51 RU + UR = 64 + 1 = 22 + 43 = 65 YR + YU = 1 + 20 = 12 + 9 = 21 |
Dabei haben in der obigen Tabelle in jedem dieser 4 Doppelfälle die Blöcke für das R-Teil und das U-Teil nur ihre Plätze getauscht, während die anderen Blöcke unverändert blieben.
Was fällt noch ins Auge?
Das Y- bzw. L-Teil bildet in 12 + 9 = 21 von 240 Fällen (8,75%) keine Kante.
Das B- bzw. V-Teil liegt in 19 + 8 + 6 = 33 von 240 Fällen (13,75%) nicht komplett auf einer Außenfläche.
Das O- bzw. Z-Teil liegt ebenfalls in 33 von 240 Fällen nicht komplett auf einer Außenfläche.
Das A- bzw. P-Teil bildet in 37 von 240 Fällen (15,4%) keine Ecke.
5) Gespiegelte Lösungen
Wir haben bereits gesehen, dass Lösungen, die ein R und/oder U enthalten, auf Lösungen mit einem U und/oder R an entsprechender Stelle gespiegelt werden, während O-, B- und A-Lösungen beim Spiegeln an einer Ebene wieder zu einer O-, B- und A-Lösung werden. Doch was passiert beim Spiegeln mit dem Wert (Dexterity Value), der auf der Seite somap.htm erklärt wurde und davon abhing, ob das B(V)-Teil, das Y(L-)-Teil bzw. das O(Z)-Teil spiegelverkehrt oder nicht spiegelverkehrt auf der Oberfläche des Somawürfels lagen? Dazu muss zunächst geklärt werden, wann das B(V)-Teil, das Y(L-)-Teil und das O(Z)-Teil überhaupt auf einer der Außenflächen liegen:
Das Y(L-)-Teil liegt immer auf einer der Außenflächen (2. Regel)
Das O(Z-)-Teil liegt immer auf einer der Außenflächen, wenn es nicht das Zentrum bildet (1. Fall = O-Lösung)
Das B(V-)-Teil liegt immer auf einer der Außenflächen, wenn es nicht defizient ist (Lösungen B, BR und BU)
Im Folgenden 2 konkrete Beispiele. Beachten Sie bei den räumlichen Abbildungen, dass die Teile Y(L-) und Y(L-) beim Spiegeln ineinander übergehen und somit auch ihre jeweilige Farbe tauschen:
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– |
Bei O(Z)-Lösungen liegt das O(Z)-Teil im Zentrum und somit nicht auf der Oberfläche und trägt daher sowohl gespiegelt ais auch ungespiegelt nicht mit der Zahl 4 zum Wert bei. Das B(V)-Teil liegt bei O-Lösungen auf einer Außenfläche, das Y(L)-Teil sowieso. Ist der Wert ursprünglich 0 (das B(V)-Teil und das Y(L)-Teil liegen beide auf der Außenfläche des Somawürfels spiegelverkehrt), wird der Wert nach dem Spiegeln zu 1 + 2 = 3 (jetzt liegen die beiden Teile nicht spiegelverkehrt) und umgekehrt. Liegt nur das B(V)-Teil spiegelverkehrt, ändert sich der Wert von 1 auf 2 (und umgekehrt). |
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– |
Bei B(V)-Lösungen liegt das B(V)-Teil nicht auf der Oberfläche und trägt somit nicht mit der Zahl 1 zum Wert bei. Das Y(L)-Teil und das O(Z)-Teil (das jetzt nicht im Zentrum liegt) liegen in diesem Fall beide auf einer Außenfläche. Ist der Wert ursprünglich 0 (das Y(L)-Teil und das O(Z)-Teil liegen beide auf der Außenfläche des Somawürfels spiegelverkehrt), wird er nach dem Spiegeln zu 2 + 4 = 6 (jetzt liegen die beiden Teile nicht spiegelverkehrt) und umgekehrt. Liegt nur das O(Z)-Teil spiegelverkehrt, ändert sich der Wert von 2 auf 4 (und umgekehrt). |
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Im Folgenden alle Spiegelungen und welche Werte (Dexterity Value) dabei ineinander übergehen:
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O ↔ O 0 ↔ 3 1 ↔ 2 |
B ↔ B 0 ↔ 6 2 ↔ 4 |
BR ↔ BU 0 ↔ 6 2 ↔ 4 4 ↔ 2 6 ↔ 0 |
A ↔ A 0 ↔ 7 1 ↔ 6 2 ↔ 5 3 ↔ 4 |
R ↔ U 0 ↔ 7 1 ↔ 6 2 ↔ 5 3 ↔ 4 4 ↔ 3 5 ↔ 2 6 ↔ 1 7 ↔ 0 |
RU ↔ UR 0 ↔ 7 1 ↔ 6 2 ↔ 5 3 ↔ 4 4 ↔ 3 5 ↔ 2 6 ↔ 1 7 ↔ 0 |
YR ↔ YU 0 ↔ 7 1 ↔ 6 2 ↔ 5 3 ↔ 4 4 ↔ 3 5 ↔ 2 6 ↔ 1 7 ↔ 0 |
6) Und was ist mit den Kleinbuchstaben?
Bisher haben wir bei den Betrachtungen der Lösungen aus der Somap nur auf die defizienten und zentralen Puzzleteile und auf den Wert geschaut, nicht aber auf die Kleinbuchstaben, die unterschiedliche Lösungen mit gleichen defizienten und zentralen Puzzleteilen und gleichen Werten voneinander unterscheiden. Schaut man sich in der Somap z.B. die A-Lösungen mit dem Wert 1 an, so findet man A1e, A1f und A1i. Die Abfolge der Kleinbuchstaben scheint auf den ersten Blick ohne Struktur. Was ist mit den Kleinbuchstaben a - d, g und h? Im vorherigen Kapitel haben wir jedoch gesehen, dass A1-Lösungen auf A6-Lösungen gespiegelt werden und in der Somap finden sich folgende A6-Lösungen: A6a, A6b, A6c, A6d, A6g und A6h. Das sind zusammen 9 verschiedene Lösungen mit den Kleinbuchstaben a - i. Es ist vielleicht schon aufgefallen, dass die gespiegelten Lösungen O3a und O0a bzw. B4c und B2c den gleichen Kleinbuchstaben haben. Das heißt, dass es zu den 9 Lösungen
A6a, A6b, A6c, A6d, A1e, A1f, A6g, A6h und A1i
die 9 gespiegelten aber gleichen Lösungen
A1a, A1b, A1c, A1d, A6e, A6f, A1g, A1h und A6i
gibt. Variieren wir zum Schluss die Liste vom Ende des vorherigen Kapitels um geben dabei die Anzahl der jeweils verschiedenen Lösungen an:
| Summe: |
O ↔ O 16 (0) 17 (1) 33 | + |
B ↔ B 8 (0) 11 (2) 19 | + |
BR ↔ BU 3 (0) 4 (2) 4 (4) 3 (6) 14 | + |
A ↔ A 6 (0) 9 (1) 8 (2) 14 (3) 37 | + |
R ↔ U 4 (0) 5 (1) 0 (2) 12 (3) 9 (4) 10 (5) 3 (6) 8 (7) 51 | + |
RU ↔ UR 11 (0) 4 (1) 16 (2) 6 (3) 11 (4) 4 (5) 5 (6) 8 (7) 65 | + |
YR ↔ YU 0 (0) 0 (1) 0 (2) 9 (3) 6 (4) 3 (5) 0 (6) 3 (7) 21 |
= | 240 |
Link: https://scholarship.claremont.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1951&context=jhm
Manfred Arens
arens@muart.de
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